Teoría y fundamentos

Ecuación de Laplace y método de diferencias finitas

La ecuación de Laplace en 2D se expresa como:

\[\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0\]

En una malla uniforme con paso \(h\), la aproximación por diferencias finitas da:

\[V_{i,j} = \frac{1}{4} \left(V_{i+1,j} + V_{i-1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j-1}\right)\]

Este esquema es conocido como stencil de cinco puntos.

Jacobi: usa los valores de la iteración anterior:

\[V_{i,j}^{(k+1)} = \frac{1}{4}(V_{i+1,j}^{(k)} + V_{i-1,j}^{(k)} + V_{i,j+1}^{(k)} + V_{i,j-1}^{(k)})\]

Gauss-Seidel: actualiza en el mismo paso los valores recién calculados:

\[V_{i,j}^{(k+1)} = \frac{1}{4}(V_{i+1,j}^{(k)} + V_{i-1,j}^{(k+1)} + V_{i,j+1}^{(k)} + V_{i,j-1}^{(k+1)})\]

Se detiene cuando:

\[\max |V^{(k+1)} - V^{(k)}| < \varepsilon\]